無理數(shù)的定義 和有理數(shù)有什么區(qū)別

無理數(shù)是一種特殊的數(shù)學(xué)概念，指的是無限不循環(huán)的小數(shù)。這個(gè)概念最初由希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家柏拉圖提出，他用這個(gè)名字來表示“不可公度的比值”，即不能用整數(shù)或普通分?jǐn)?shù)表示的比值。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是一場(chǎng)數(shù)學(xué)革命，因?yàn)樗蚱屏巳藗儗?duì)于數(shù)字和幾何的舊有認(rèn)識(shí)，揭示了數(shù)學(xué)中一些基本概念的局限性。

無理數(shù)的定義

無理數(shù)的定義有無理數(shù)也稱為無限不循環(huán)小數(shù)，是不能寫作兩個(gè)整數(shù)之比的實(shí)數(shù)。無理數(shù)的小數(shù)表示具有無限多個(gè)不重復(fù)的數(shù)字，且沒有循環(huán)模式，這意味著它們不能被寫成分?jǐn)?shù)的形式。常見的無理數(shù)包括非完全平方數(shù)的平方根、圓周率π和自然對(duì)數(shù)的底e。無理數(shù)是實(shí)數(shù)集R中有理數(shù)集Q的補(bǔ)集，因此其集合符號(hào)通常表示為CrQ。

無理數(shù)和有理數(shù)有什么區(qū)別

無理數(shù)和有理數(shù)主要有以下幾種區(qū)別：概念不同。有理數(shù)包括所有的整數(shù)和分?jǐn)?shù)，是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)；無理數(shù)不能表示為兩個(gè)整數(shù)的比例，是無限不循環(huán)的小數(shù)。

性質(zhì)不同。有理數(shù)可以表示為兩個(gè)整數(shù)的比例，例如3/8；無理數(shù)不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比，例如圓周率。

范圍不同。有理數(shù)集是整數(shù)集的擴(kuò)張，在有理數(shù)集內(nèi)，加法、減法、乘法、除法（除數(shù)不為零）四種運(yùn)算均可進(jìn)行；無理數(shù)是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。

表達(dá)方式不同。有理數(shù)可以用分?jǐn)?shù)表達(dá)；無理數(shù)則不能用分?jǐn)?shù)表達(dá)。

無理數(shù)的三個(gè)特征

無理數(shù)的三個(gè)特征分別是：無理數(shù)是小數(shù)：這意味著無理數(shù)可以表示為小數(shù)形式。

無理數(shù)是無限小數(shù)：這表明無理數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字是無限的，不會(huì)終止。

無理數(shù)是不循環(huán)小數(shù)：這意味著無理數(shù)的小數(shù)部分不會(huì)出現(xiàn)循環(huán)模式，即每一位數(shù)字都是獨(dú)一無二的，不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。

綜上所述，無理數(shù)可以精確地定義為無限不循環(huán)小數(shù)，是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。