循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)嗎 是如何定義的

循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)。一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分從某一位起，一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字依次重復(fù)出現(xiàn)的無(wú)限小數(shù)叫循環(huán)小數(shù)。循環(huán)小數(shù)會(huì)有循環(huán)節(jié)（循環(huán)點(diǎn)），并且可以化為分?jǐn)?shù)。而有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集合。

循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)嗎

循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)。兩數(shù)相除，如果得不到整數(shù)商，會(huì)有兩種情況：一種，得到有限小數(shù)。一種，得到無(wú)限小數(shù)。從小數(shù)點(diǎn)后某一位開始依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)一個(gè)或一節(jié)數(shù)字的十進(jìn)制無(wú)限小數(shù)，叫作循環(huán)小數(shù)。循環(huán)小數(shù)的縮寫法是將第一個(gè)循環(huán)節(jié)以后的數(shù)字全部略去，而在第一個(gè)循環(huán)節(jié)首末兩位上方各添一個(gè)小點(diǎn)。

有理數(shù)為整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱。正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)合稱為正有理數(shù)，負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)合稱為負(fù)有理數(shù)。因而有理數(shù)集的數(shù)可分為正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零。由于任何一個(gè)整數(shù)或分?jǐn)?shù)都可以化為十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)，反之，每一個(gè)十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)也能化為整數(shù)或分?jǐn)?shù)，因此，有理數(shù)也可以定義為十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)。

循環(huán)小數(shù)是如何定義的

. 循環(huán)：循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分中存在著至少一段數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)的情況，即小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)列會(huì)不斷重復(fù)。例如，1/3的小數(shù)部分為0.33333...，其中數(shù)字3不斷重復(fù)。

2. 無(wú)限：循環(huán)小數(shù)沒(méi)有一個(gè)明確的截止位數(shù)，即小數(shù)部分可以一直延伸下去，不會(huì)停止。

3. 周期：循環(huán)小數(shù)中的重復(fù)數(shù)字形成一個(gè)特定的周期，這個(gè)周期可能包含一個(gè)或多個(gè)數(shù)字。例如，1/7的小數(shù)部分為0.142857142857...，這個(gè)重復(fù)數(shù)字序列"142857"就是它的循環(huán)周期，長(zhǎng)度為6。

4. 變換：循環(huán)小數(shù)也可以通過(guò)將循環(huán)節(jié)中的數(shù)字進(jìn)行變換，得到一系列新的循環(huán)小數(shù)，這些新的循環(huán)小數(shù)與原來(lái)的循環(huán)小數(shù)具有相同的性質(zhì)。

循環(huán)小數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中十分常見，例如在分?jǐn)?shù)、數(shù)學(xué)公式、計(jì)算機(jī)編程等涉及到小數(shù)部分的場(chǎng)合中都有大量的應(yīng)用。對(duì)于循環(huán)小數(shù)的特點(diǎn)的了解，有助于我們更好地理解和運(yùn)用這個(gè)概念。

循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法

1. 原數(shù)法：設(shè)循環(huán)小數(shù)為0.abcabc…，用x表示，則x=0.abcabc…，則10x=abc.abcabc…，兩式相減得到9x=abc，所以x=abc/9，將abc化成整數(shù)分子即得到分?jǐn)?shù)形式。

2. 輾轉(zhuǎn)相除法：設(shè)循環(huán)小數(shù)為0.abcabc…，記為x，則10^3x = abc.abcabc…，兩式相減得到999x = abc，將abc化成整數(shù)分子即得到分?jǐn)?shù)形式。3. 帶括號(hào)法：設(shè)循環(huán)小數(shù)為0.(abc)，用x表示，將循環(huán)節(jié)的部分加上括號(hào)，得到10^nx = abc.abcabc…，兩式相減得到(10^n-1)x = abc，將abc化成整數(shù)分子即得到分?jǐn)?shù)形式。