閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有哪些

有界性（最大值和最小之定理）：在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界且取得它的最大值和最小值。零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)，且F(a)與F(b)異號(hào)，那么在開(kāi)區(qū)間（a,b)內(nèi)至少有函數(shù)F(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)t(a<t<b),使F(t)=0。

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1.有界性（最大值和最小之定理）：在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界且取得它的最大值和最小值。

2.零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)，且F(a)與F(b)異號(hào)，那么在開(kāi)區(qū)間（a,b)內(nèi)至少有函數(shù)F(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)t(a<t<b),使F(t)=0。

3.介值定理：設(shè)函數(shù)F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的短短取不同的函數(shù)值F(x)=A及F(x)=B，那么，對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)t,使得F(t)=C（a<c<b)。

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)

(1)(最值定理)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得最大值，最小值。

(2)(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么，對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)

(3)(零點(diǎn)定理)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)如果兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)的函數(shù)值為0.

(4)(有界性)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該閉區(qū)間上必有界。

為什么函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)不一定有界

其實(shí)在閉區(qū)間上的連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

所以閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是有界的。

根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必存在最大值M和最小值n,我們?nèi)∵@兩者絕對(duì)值較大者為K，顯然k是這函數(shù)的一個(gè)界。即閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)必有界。

但是，開(kāi)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值和最小值，因而存在函數(shù)極限趨于無(wú)窮大的情況。比如，y=1/x在(0,+∞）上無(wú)最大值和最小值，且x→0+，y→+∞。y=1/x在(0,+∞）上無(wú)界。